Question

【題目】如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐P﹣ABCDE中，F為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H．

（1）求證：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中點，

∴AB∥DE，又∵AB平面PDE，∴AB∥平面PDE，

∵AB平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，

∴AB∥FG

（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，

如圖建立空間直角坐標系Axyz，則A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），

E（0，2，0），F（0，1，1）， ，

設平面ABF的法向量為n=（x，y，z），則

即 ，

令z=1，則y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），

設直線BC與平面ABF所成的角為α，則

sinα=|cos |=| |= ，

∴直線BC與平面ABF所成的角為 ，

設H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可設 ，

即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，

∴n =0，即（0，﹣1，1）（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ= ，∴H（ ），

∴PH= =2．

【解析】（1）運用線面平行的判定定理和性質定理即可證得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE為正方形，建立如圖的空間直角坐標系Axyz，分別求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐標，設平面ABF的法向量為n=（x，y，z），求出一個值，設直線BC與平面ABF所成的角為α，運用sinα=|cos |，求出角α；設H（u，v，w），再設 ，用λ表示H的坐標，再由n =0，求出λ和H的坐標，再運用空間兩點的距離公式求出PH的長．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．