Question

20.設(shè)函數(shù)f(x)=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；

(Ⅱ)討論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

Answer 1

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性。考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值等問題的綜合能力。

解：(Ⅰ)我們有

     ＝sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4

     =sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3

     =(sinx-t)²+4t³-3t+3

由于(sinx-t)²≥0,|t|≤1,故當(dāng)sinx=t時(shí)，f(x)達(dá)到其最小值g(t),即

g(t)=4t³-3t+3.

(Ⅱ)我們有

g′(t)=12t²-3=3(2t+1)(2t-1),-1＜t＜1.

列表如下：

t
g′(t)	+	0	-	0	+
g(t)	↗	極大值	↘	最小值	↗

由此可見，g(t)在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為.