Question

拋物線C：y=ax²的準線為y=-

1

2

，PM，PN切拋物線于M，N且與X軸交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P點的軌跡．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的準線方程確定拋物線方程，即可求得a的值；
（2）先求出切線方程，得出A，B的坐標，利用|AB|=1，可得軌跡方程，從而可得P點的軌跡．

解答：解：（1）由已知：拋物線的準線為y=-

1

2

，
∴

p

2

=

1

2

，∴p=1…（2分）
∴拋物線為x²=2y即y=

1

2

x2，
∴a=

1

2

…（5分）
（2）設M(x1，

1

2

x

2 1

)，N(x2，

1

2

x

2 2

)，P(x，y)
∵y=

1

2

x2，∴y′=x，∴k_PM=x₁
直線PM：y-

1

2

x

2 1

=x1(x-x1)，即y=x1x-

1

2

x

2 1

令y=0得x=

1

2

x1即A(

1

2

x1，0)
同理PN：y=x2x-

1

2

x

2 2

，B(

1

2

x2，0)…（9分）
由

y=x1x- 1 2 x 2 1 y=x2x- 1 2 x 2 2

得

x= x1+x2 2 y= x1x2 2

∵|AB|=1，∴|

1

2

x1-

1

2

x2|=1，∴(x1+2)2-4x1x2=4
∴（2x）²-8y=4即y=

1

2

x2-

1

2

…（12分）
∴P的軌跡方程為y=

1

2

x2-

1

2

，軌跡是一條拋物線       …（13分）

點評：本題考查拋物線方程，考查拋物線的切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．