Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經過點P（2， ），離心率e= ，直線l的漸近線為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）經過橢圓右焦點D的任一直線（不經過點P）與橢圓交于兩點A，B，設直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1 ， k2 ， k3 ， 問是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由點 在橢圓上得， ① ②

由 ①②得c2=4，a2=8，b2=4，故橢圓C的方程為

（2）解：假設存在常數λ，使得k1+k2=λk3．

由題意可設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣2）③

代入橢圓方程 并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則有 ④

在方程③中，令x=4得，M（4，2k），從而 ， ， ．

又因為A、F、B共線，則有k=kAF=kBF，

即有

所以k1+k2= =

= ⑤

將④代入⑤得k1+k2= ，又 ，

所以k1+k2=2k3．故存在常數λ=2符合題意

【解析】（1）利用點 在橢圓上，橢圓的離心率，求解a，b，得到橢圓方程．（2）假設存在常數λ，使得k1+k2=λk3 ． 設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達定理，結合A、F、B共線，通過k=kAF=kBF ， 求出k1+k2 ， 然后推出k1+k2=2k3 ． 即可．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．