Question

已知數列滿足：，且

（1）設，證明數列是等差數列；

（2）求數列、的通項公式；

（3）設，為數列的前項和，證明.

Answer 1

解：(1) 解法一：,

為等差數列                    4分

解法二：

……4分

(2)由(1),從而      6分

(3)解法一：

,               6分

當時,,不等式的左邊=7,不等式成立

當時,   故只要證,           

如下用數學歸納法給予證明:

①當時,,時,不等式成立;

②假設當時,成立

當時,

只需證: ,即證:     

令,則不等式可化為:

即令,則

在上是減函數又在上連續, ,故

當時,有當時,所證不等式對的一切自然數均成立綜上所述,成立.                   14分

解法二：同一法可得：

下面證明：

記