Question

已知向量

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[

π

2

，π]
（1）若|

a

+

b

|＞

3

，求x的范圍；
（2）f(x)=

a

•

b

+|

a

+

b

|，若對任意x₁，x2∈[

π

2

，π]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量加法的坐標運算求出

a

+

b

，進一步求出|

a

+

b

|，然后解三角不等式求x的范圍；
（2）把

a

•

b

，和

a

+

b

代入f(x)=

a

•

b

+|

a

+

b

|，整理后求出函數(shù)在[

π

2

，π]上的最值，求出兩最值差的絕對值后可得t的范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
∴

a

•

b

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)•(cos

x

2

，-sin

x

2

)=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2|cosx|，
∵x∈[

π

2

，π]，∴|

a

+

b

|=-2cosx，
由-2cosx＞

3

?cosx＜-

3

2

，
∵x∈[

π

2

，π]，∴

5π

6

＜x≤π；
（2）∵f(x)=

a

•

b

+|

a

+

b

|
∴f(x)=cos2x-2cosx=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

∵-1≤cosx≤0，
∴-1≤f（x）≤3?|f（x₁）-f（x₂）|≤|3-（-1）|=4，
∴t＞4．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了向量的模，問題（1）訓練了三角不等式的解法，（2）考查了數(shù)學轉化思想，把對任意x₁，x2∈[

π

2

，π]恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜t成立轉化為求函數(shù)的最值問題，此題是中檔題．