Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點，連接ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）求證：平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；
（Ⅲ）求C到面EDB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由BC⊥平面D₁DCC₁?BC⊥DE．再利用△DD₁E為等腰直角三角形?∠D₁ED=45°以及∠C₁EC=45°可得DE⊥EC，合在一起可得平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）先過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O?EO⊥面ABCD；再O在平面DBC中作OF⊥DB于F，利用三垂線定理極其逆定理可得EF⊥BD．所以∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．再利用平面幾何知識求出∠EFO的正切值即可；
（Ⅲ）由V_E-DBC=V_C-DBE，利用等體積法來求C到面EDB的距離即可．

解答：解：
（Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點．
∴△DD₁E為等腰直角三角形，∠D₁ED=45°．同理∠C₁EC=45°．
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC⊥平面D₁DCC₁，又DE?平面D₁DCC₁，
∴BC⊥DE．又EC∩BC=C，∴DE⊥平面EBC．
∵DE?平面DEB，∵平面DEB⊥平面EBC．
（Ⅱ）如圖，過E在平面D₁DCC₁中作EO⊥DC于O．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵面ABCD⊥面D₁DCC₁，∴EO⊥面ABCD．
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F，
連接EF∴EF⊥BD．
∠EFO為二面角E-DB-C的平面角．
利用平面幾何知識可得OF=

1

5

，OE=1，tan∠EFO=

5

．
所以二面角E-DB-C的正切值為

5

．
（Ⅲ）等體積法：
∵V_E-DBC=V_C-DBE，
∴

1

3

•

1

2

•BC•CD•EO=

1

3

•

1

2

•BD•EF•d
?1×2×1=

5

×

6 5

×d
∴d=

6

3

故C到面EDB的距離為

6

3

．

點評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點到面的距離計算．在求點到面的距離時，如果直接法不好求的話，一般轉化為棱錐的高利用等體積法來求．