Question

在△ABC中，已知∠A=120°，AB=AC=2，D是BC邊的中點，若P是線段AD上任意一點，則

PA

•

PB

+

PA

•

PC

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：通過解直角三角形求出邊BC，建立直角坐標系，寫出各點的坐標，求出三個向量的坐標，利用向量的數量積公式求出

PA

•

PB

+

PA

•

PC

，利用二次函數的對稱軸公式求出對稱軸，求出二次函數的最小值．

解答：解：∵∠A=120°，AB=AC=2，
∴BC=2×2sin60°=2

3

以DA為y軸，以BC為x軸，建立直角坐標系則
B（-

3

，0），C（

3

，0)  A（0，1）
設P（0，y）
所以

PA

=(0，1-y)， 

PB

=(-

3

，-y) 

PC

=(

3

，-y）
所以

PA

•

PB

+

PA

•

PC

=2y2-2y（0≤y≤1）
對稱軸為y=

1

2

所以當y=

1

2

時，最小值為-

1

2

故答案為：-

1

2

點評：本題考查通過建立直角坐標系轉化為坐標形式的向量問題、考查向量坐標的求法、考查向量的數量積公式、考查二次函數的最值的求法．