Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₃=3，a₁+a₇=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

1

an•an+1

，證明：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜1．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=3，a₁+a₇=8利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

a1+2d=3 2a1+6d=8

，解得a₁及d即可；
（II）利用（I）及bn=

1

an•an+1

，裂項(xiàng)求和可得bn=

1

n

-

1

n+1

進(jìn)而得到其前n項(xiàng)和S_n．

解答：（I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=3，a₁+a₇=8可得

a1+2d=3 2a1+6d=8

，解得

a1=1 d=1

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n．
（II）證明：由（I）可知：a_n=n，
∴bn=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．