(本題滿分14分)設拋物線
的方程為
，
為直線
上任意一點，過點
作拋物線的兩條切線
，切點分別為
,
.
（1）當的坐標為
時，求過
三點的圓的方程，并判斷直線
與此圓的位置關系；
（2）求證：直線
恒過定點
.
解：(1)當
的坐標為
時，設過點的切線方程為
，代入
，整理得
，
令
，解得
，
代入方程得
，故得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因為到
的中點
的距離為
，
從而過
三點的圓的方程為
．
易知此圓與直線
相切.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）證法一：設切點分別為
,
,過拋物線上點的切線方程為
，代入，整理得
，又因為
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
從而過拋物線上點的切線方程為
即
又切線過點
，所以得
① 即
．．．．8分
同理可得過點的切線為
，
又切線過點，所以得
② ．．．．10分
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即點，均滿足
即
，故直線的方程為 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又為直線
上任意一點，故
對任意
成立，所以
，從而直線恒過定點
.．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
證法二：設過的拋物線的切線方程為
，代入，消去
，得
即：
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
從而
，
此時
，
所以切點
的坐標分別為
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因為
，
，
，
所以的中點坐標為
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故直線的方程為
，即.．．．．．．．．．．12分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
證法三：由已知得
，求導得
，切點分別為,，故過點的切線斜率為，從而切線方程為
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切線過點，所以得 ① 即．．．．．．．．８分
同理可得過點的切線為，
又切線過點，所以得 ② 即．．．．．．．．10分
即點，均滿足即，故直線的方程為
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又為直線上任意一點，故對任意成立，所以，從而直線恒過定點 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
【解析】略
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分14分）
設函數
，
。
（1）若
，過兩點
和
的中點作
軸的垂線交曲線
于點
，求證：曲線在點
處的切線
過點
；
（2）若
，當
時
恒成立，求實數
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源：2011——2012學年湖北省洪湖二中高三八月份月考試卷理科數學 題型：解答題
（本題滿分14分）設橢圓
的左、右焦點分別為F1與
F2，直線
過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點，若
的周長為
。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經過伸縮變換
變成曲線
，直線
與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若
，求
面積的取值范圍。（O為坐標原點）
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省杭州市高三寒假作業數學卷三 題型：解答題
（本題滿分14分）設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方
有實數根；②函數的導數
滿足
”
（I）證明：函數
是集合M中的元素；
（II）證明：函數具有下面的性質：對于任意
，都存在
，使得等式
成立。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省揭陽市高三調研檢測數學理卷 題型：解答題
本題滿分14分）
設函數
.
（1）若
，求函數
的極值；
（2）若
，試確定
的單調性；
（3）記
，且
在
上的最大值為M，證明：
．
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（1）求函數
的單調區間；（2）求
時，用數學歸納法證明：