Question

（本題滿分16分）

已知函數f(x)＝lnx＋，其中a為大于零的常數．

（1）若函數f(x)在區間[1，＋∞)內不是單調函數，求a的取值范圍；

（2）求函數f(x)在區間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

（本題滿分16分）

解： f ¢(x)＝(x＞0) …… 2分

（1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

又當x∈(1，＋∞)時，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是(0，1)……6分

 （2）①當a≥時，因為f ¢(x)＞0在(e，e²)上恒成立，這時f(x)在[e，e²]上為增函數，所以當x＝e時，f(x)_min＝f(e)＝1＋ …………… 8分

       ②當0＜a≤時，因為f ¢(x)＜0在(e，e²)上恒成立，這時f(x)在[e，e²]上為減函數，

所以，當x＝e²時，f(x)_min＝f(e²)＝2+，………………10分

       ③當＜a＜時，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e²)，

又因為對于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，

對于x∈(，e²)有f ¢(x)＞0，

所以當x＝時，f(x)_min＝f()＝ln＋1－…………14分

       綜上，f(x)在[e，e²]上的最小值為

       f(x)_min＝…………………16分