Question

已知函書f（x）=2x²+k|x-1|（k∈R）
（1）若k=-1，求方程f（x）=4的實數解；
（2）若k=6，求函數f（x）的單調區間
（3）若f（x）的最小值是f（1）=2，求k的范圍．

Answer 1

解：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4
當x≥1時，方程可化為（x+1）（2x-3）=0，∴；
當x＜1時，方程可化為2x²+x-5=0，∴
（2）若k=6，則函數f（x）=2x²+6|x-1|=
∵，∴函數在[1，+∞）上為單調增函數；
∵，∴函數在（-∞，1）上為單調減函數；
∴k=6時，函數的單調減區間為（-∞，1），函數的單調增區間為[1，+∞）
（3）由（2）分析知，函數在（-∞，1）上為單調減函數；函數在[1，+∞）上為單調增函數
∵f（x）=2x²+k|x-1|=
∴且
∴k≥4
分析：（1）若k=-1，則方程f（x）=4即為：2x²-|x-1|=4，再將絕對值符號化去，分類討論，解方程即可；
（2）若k=6，將函數化簡，f（x）=2x²+6|x-1|=，分別利用配方法，即可得到函數的單調減區間為（-∞，1），函數的單調增區間為[1，+∞）；
（3）由（2）分析知，函數在（-∞，1）上為單調減函數；函數在[1，+∞）上為單調增函數，將函數化簡f（x）=2x²+k|x-1|=，根據函數的單調性可得且，從而可求k的范圍．
點評：本題以二次函數為載體，考查方程的解，函數的單調區間，考查解不等式，解題的關鍵是利用零點將絕對值符號化去，從而利用二次函數的性質解題．