Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀是函數f（x）的不動點.已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0），

（1）當a=1，b=-2時，求函數的不動點；

（2）若對于任意b∈R，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的范圍.

Answer 1

思路解析：本題考查二次函數與二次方程的性質.

解：（1）當a=1，b=-2時，函數f（x）=x²-x-3，由題意得x=x²-x-3.解得x=-1或x=3.

（2）函數f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）恒有兩個相異的不動點，方程x=ax²+（b+1）x+（b-1）恒有兩個不同的根，即方程ax²+bx+（b-1）=0恒有兩個不同的根.因此Δ=b²-4a（b-1）＞0對任意b∈R恒成立，即b²-4ab+4a＞0對任意b∈R恒成立.所以必須滿足（4a）²-4·4a＜0，解之，得0＜a＜1.