Question

已知偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集為

（-∞，-2）∪（0，2）

．

Answer 1

分析：偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，且f（-2）=0，故抽象不等式可轉(zhuǎn)化為具體不等式，故可求．

解答：解：由題意，不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0等價于

f(x)

x

＞0
∴

f(x)

x

＞0等價于

x＞0 f(x)＞0

或

x＜0 f(x)＜0

∵偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，且f（-2）=0，
∴

x＞0 x＜2

或

x＜0 x＜-2

∴不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，2）
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點評：本題考查解不等式，考查單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．