Question

設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p²+71的不同正因數(shù)的個數(shù)不超過10個，求p

Answer 1

解析：  當p=2時，p²+71=75=5²×3，此時共有正因數(shù)(2+1)(1+1)=6個，故p=2

  滿足要求．當p=3時，p²+71=80=2⁴×5，此時共有正因數(shù)(4+1)(1+1)=10個，故p=3

  滿足條件．   

    當p>3時，p²+71=p²-1+72=(p-1)(p+1)+72.質(zhì)數(shù)p必為3k±1型的奇數(shù)

  p-1、p+1是相鄰的兩個偶數(shù)，且其中必有一個是3的倍數(shù).所以，(p―1)(p+1)是24的倍數(shù)，

  從而p²+71是24的倍數(shù)．  

    設(shè)p²+71=24×m，m≥4．

  若m有不同于2、3的質(zhì)因數(shù)，則，p²+71的正因數(shù)個數(shù)≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0；

  若m中含有質(zhì)因數(shù)3，則，p²+71的正因數(shù)個數(shù)≥(3+1)(2+1)>10；

  若m中僅含有質(zhì)因數(shù)2，則p²+71的正因數(shù)個數(shù)≥(5+1) (1+1)>10；

  所以，p>3不滿足條件．綜上所述，所求得的質(zhì)數(shù)p是2或3.