Question

已知正項等比數列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅．若存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a1，則

1

m

+

9

n

的最小值為（　　）

• A、

  8

  3

• B、

  11

  4

• C、

  14

  5

• D、

  17

  6

Answer 1

分析：根據a₇=a₆+2a₅，求出公比的值，利用存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a1，寫出m，n之間的關系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：設等比數列的公比為q（q＞0），則
∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a1，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

9

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

6

（10+

n

m

+

9m

n

）≥

1

6

（10+2

n m • 9m n

）=

8

3

，當且僅當n=3m時取等號．
∴

1

m

+

9

n

的最小值為

8

3

，
故選A．

點評：本題考查等比數列的通項和基本不等式，實際上應用基本不等式是本題的重點和難點，關鍵注意當兩個數字的和是定值，要求兩個變量的倒數之和的最小值時，要乘以兩個數字之和．