Question

在等差數列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，在數列{b_n}中，b₁=2，且b_n=2b_n-1-1，（n≥2）
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設Tn=

a1

b1-1

+

a2

b2- 1

+

a3

b3-1

+…+

an

bn-1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可求公差d，代入等差數列的通項公式可求a_n，由b_n=2b_n-1-1可得b_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2），則可得{b_n-1}是等比數列，結合等比數列的通項公式可求b_n
（2）由（1）可得T_n═1+

3

2

+

5

4

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，結合所求和的特點，考慮利用錯位相減求解．

解答：解：（1）由等差數列的通項公式可得，d=

a5-a1

5-1

=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1     
 由b_n=2b_n-1-1可得b_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2）
∴{b_n-1}是以b₁-1=1為首項，2為公比的等比數列
∴b_n-1=2^n-1  
  故b_n=2^n-1+1
（2）Tn=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+…+

an

bn-1

=

2-1

20

+

2×2-1

22-1

+…+

2n-1

2n-1

=1+

3

2

+

5

4

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

         ①
則 

1

2

Tn=

1

2

+

3

4

+

5

8

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

 ②
①-②可得

1

2

Tn=1+2(

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n-1

)-

2n-1

2n

=1+2×

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n

=1+2-(

1

2

)n-2-(2n-1)(

1

2

)n
=3-(

1

2

)n[4+(2n-1)]=3-(2n+3)(

1

2

)n
所以Tn=6-

2n+3

2n-1

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式的應用，構造等比求數列的通項公式，錯位相減求數列的和是數列求和中的重點與難點．