Question

已知函數f(x)=

x+1-a

a-x

(x∈R，x≠a)，
（Ⅰ）求f（x）+f（2a-x）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區間（a，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）當f（x）的定義域是[a+

1

2

，a+1]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求f（x）+f（2a-x）的值；
（Ⅱ）利用單調性的定義判斷f（x）在區間（a，+∞）上的單調性；
（Ⅲ）利用函數的單調性求函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（2a-x）=

x+1-a

a-x

+

2a-x+1-a

a-(2a-x)

=

x+1-a

a-x

+

a+1-x

x-a

=-2．（3分）
（Ⅱ）f（x）在（a，+∞）是增函數．證明如下：（4分）
設a＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=

x1+1-a

a-x1

-

x2+1-a

a-x2

=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

，

∵a＜x1＜x2， ∴a-x1＜0，a-x2＜0，x1-x2＜0， ∴f(x1)-f(x2)＜0.

∴函數f（x）在區間（a，+∞）上是增函數．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，f（x）在[a+

1

2

，a+1]上是增函數．
又f(a+

1

2

)=-3，f(a+1)=-2，
∴當f(x)的定義域是[a+

1

2

，a+1]時，f(x)值域為[-3，-2]．（12分）

點評：本題主要考查函數單調性的證明以及利用函數的單調性求函數值域，要求熟練掌握利用定義法證明函數的單調性．