Question

設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A(0，1)、B(0，－1)，且．

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E；

(2)若直線y＝x＋b與曲線E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿足，求實(shí)數(shù)b的取值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)點(diǎn)，則△ABC的重心，∵△ABC是不等邊三角形，∴ 　　再設(shè)△ABC的外心． ∵已知，∴MN∥AB，∴．　2分 　　∵點(diǎn)N是△ABC的外心，∴，即 　　化簡(jiǎn)整理得軌跡E的方程是　4分 　　∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是指焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓(去掉其頂點(diǎn))．　5分 　　(2)將直線方程代入軌跡E的方程，并化簡(jiǎn)， 　　得　6分 　　依題意，知，，且， 　　化簡(jiǎn)，得：，，且　8分 　　設(shè)、，∵，∴，即 　　　10分 　　又∵，，∴，化簡(jiǎn)得 　　解得實(shí)數(shù)的取值是．　12分