Question

試問能否找到一條斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，且使M，N，且使M，N到點A（0，1）的距離相等，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：設直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設P為MN的中點，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可．由得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．然后利用韋達定理和根與系數的關系能夠推導出當k∈（-1，0）∪（0，1）時，存在滿足條件的直線l．
解答：解：設直線l：y=kx+m為滿足條件的直線，再設P為MN的中點，欲滿足條件，只要AP⊥MN即可
由得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，∴．∵AP⊥MN∴=，
故．
由△=36m²k²-4（1+3k²）（3m²-3）=9（1+3k²）．（1-k²）＞0，
得-1＜k＜1，且k≠0．
故當k∈（-1，0）∪（0，1）時，存在滿足條件的直線l．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要合理地進行等價轉化，注意韋達定理和根與系數的關系的靈活運用．