Question

19．已知函數f（x）=（x-2）e^x+a．（a∈R）
（I）試確定函數f（x）的零點個數；
（II）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，證明：x₁+x₂＜2．
參考公式：（e^t-x）'=-e^t-x（t為常數）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的零點個數即可；
（Ⅱ）要證x₁+x₂＜2，只需證x₁＜2-x₂，只需證f（x₁）＞f（2-x₂），即要證f（2-x₂）＜0，令h（x）=-xe^2-x-（x-2）e^x，根據函數的單調性證明即可；

解答 解：（I）由g（x）=0得a=（2-x）e^x，令g（x）=（2-x）e^x，

函數f（x）的零點個數即直線y=a與曲線g（x）=（2-x）e^x的交點個數，
∵g'（x）=-e^x+（2-x）e^x=（1-x）e^x，-------------（2分）
由g'（x）＞0得x＜1，∴函數g（x）在（-∞，1）單調遞增，
由g'（x）＜0得x＞1，∴函數g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，函數g（x）有最大值，g（x）_max=g（1）=e，----------------------------------------（3分）
又當x＜2時，g（x）＞0，g（2）=0，當x＞2時g（x）＜0，
∴當a＞e時，函數f（x）沒有零點；----------------------------------------------------------------（4分）
當a=e或a≤0時，函數f（x）有一個零點；------------------------------------------------------（5分）
當0＜a＜e時，函數f（x）有兩個零點．------------------------------------------------------------（6分）
（II）證明：函數f（x）的零點即直線y=a與曲線g（x）=（2-x）e^x的交點橫坐標，
不妨設x₁＜x₂，由（I）知x₁＜1，x₂＞1，得2-x₂＜1，
∵函數g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上單調遞增，
∴函數f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）單調遞減，
要證x₁+x₂＜2，只需證x₁＜2-x₂，------------------------------------------------------------（7分）
∴只需證f（x₁）＞f（2-x₂），又f（x₁）=0，即要證f（2-x₂）＜0，---------------------（8分）
∵由a=g（x₂）得$f（2-{x_2}）=-{x_2}{e^{2-{x_2}}}+a=-{x_2}{e^{2-{x_2}}}-（{x_2}-2）{e^{x_2}}$，（x₂＞1）--------（9分）
令h（x）=-xe^2-x-（x-2）e^x，則h'（x）=（1-x）（e^x-e^2-x），------------------------------（10分）
當x＞1時，e^x＞e^2-x，h'（x）＜0，即函數h（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴當x₂＞1時，f（2-x₂）＜0，即x₁+x₂＜2．------------------------------------------------（12分）
證法二：由（Ⅰ）知，a＞0，不妨設x₁＜1＜x₂，
設F（x）=f（x）-f（2-x）（x＞1），則F（x）=（x-2）e^x+xe^2-x，-----------------------------（8分）
F'（x）=（1-x）（e^2-x-e^x），易知y=e^2-x-e^x是減函數，
當x＞1時，e^2-x-e^x＜e-e=0，又1-x＜0，得F'（x）＞0，
所以F（x）在（1，+∞）遞增，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞f（2-x）．---------------------------（10分）
由x₂＞1得f（x₂）＞f（2-x₂），又f（x₂）=0=f（x₁），所以f（2-x₂）＜f（x₁），
由g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上單調遞增，得f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）單調遞減，
又2-x₂＜1，∴2-x₂＞x₁，即x₁+x₂＜2，得證．---------------------------------------（12分）】

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．