Question

對于定義域和值域均為[0，1]的函數f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點稱為f的n階周期點．設f（x）=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

 則f的2階周期點的個數是

4

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理，方法是根據已知條件和遞推關系，先求出f的1階周期點的個數，再求2階周期點的個數．

解答：解：當x∈[0，

1

2

]時，f₁（x）=2x=x，解得x=0
當x∈（

1

2

，1]時，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

，
∴f的1階周期點的個數是2；
當x∈[0，

1

4

]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0；
當x∈（

1

4

，

1

2

]時，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=

2

5

；
當x∈（

1

2

，

3

4

]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x，解得x=

2

3

；
當x∈（

3

4

，1]時，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=

4

5

．
∴f的2階周期點的個數是2²=4．
故答案為：4．

點評：本題考查函數的2階周期點的個數的求法，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的靈活運用．