Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面底面，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，且與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）余弦值為.

【解析】分析：（1）由四邊形為菱形，得對角線,由側面底面，, 得到側面，從而，由此能證明平面；

（2）由題意易知為等邊三角形，以點為坐標原點，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．

詳解：（Ⅰ）由已知側面底面，, 底面,

得到側面，

又因為 側面,所以,

又由已知，側面為菱形，所以對角線,

即，，,

所以平面.

（Ⅱ）設線段的中點為點，連接,，因為，易知為等邊三角形，中線 ,由（Ⅰ）側面，所以,得到平面，即為與平面所成的角， ,,, ,得到;

以點為坐標原點，為軸,為軸，過平行的直線為，建立空間直角坐標系，,,,,,,，

由（Ⅰ）知平面的法向量為，設平面的法向量，,

解得,,

二面角為鈍二面角，故余弦值為.