Question

已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為，向量

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），且滿足

m

•

n

=

1

2

．
（1）若

2

a=

3

b，求角B；
（2）若a=2

3

，△ABC的面積S=

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）由向量數量積公式和二倍角的余弦公式，結合題意化簡得cosA=-

1

2

，從而算出A=

2π

3

．最后利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，即可解出角B的大小；
（2）利用正弦定理的面積公式，結合題意算出bc=4．再根據余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，解出b²+c²=8，從而解出b+c=4，即可得到△ABC的周長．

解答：解：（1）∵向量

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），
∴

m

•

n

=--cos²

A

2

+sin²

A

2

=

1

2

，即cosA=-

1

2

∵A∈（0，π），可得A=

2π

3

…（4分）
根據正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinB=

bsinA

a

=

2

2

∵B∈（0，

π

3

），∴B=

π

4

…（7分）
（2）∵△ABC的面積S=

3

，
∴

1

2

bcsin

2π

3

=

3

解之得bc=4…（9分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=12，
∴化簡得b²+c²=8，
所以（b+c）²=16，解得b+c=4…（12分）
因此，△ABC的周長為a+b+c=4+2

3

…（13分）

點評：本題給出向量含有三角形內角的三角函數的坐標，在已知數量積的情況下求角B的大小，并求三角形周長．著重考查了向量的數量積、正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．