Question

（2012•河南模擬）橢圓ax²+by²=1與直線y=1-x交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為

3

2

，則

a

b

的值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2 3

  3

• C．

  9 3

  2

• D．

  2 3

  27

Answer 1

分析：聯立橢圓方程與直線方程，得ax²+b（1-x）²=1，（a+b）x²-2bx+b-1=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得AB中點坐標：（

b

a+b

，

a

a+b

），AB中點與原點連線的斜率k=

a a+b

b a+b

=

a

b

=

3

2

．

解答：解：聯立橢圓方程與直線方程，得ax²+b（1-x）²=1，（a+b）x²-2bx+b-1=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

2b

a+b

，y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-

2b

a+b

=

2a

a+b

，
AB中點坐標：（

b

a+b

，

a

a+b

），AB中點與原點連線的斜率k=

a a+b

b a+b

=

a

b

=

3

2

．
故選A．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的經綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．