Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0），直線l：x+y=m過拋物線的焦點且被拋物線截得的弦長為3，求p的值．

Answer 1

分析：由于直線l：x+y=m過拋物線的焦點，得到直線l的方程，再將l的方程代入拋物線方程y²=2px，得y²+2py-p²=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關系得y₁+y₂，y₁y₂；再由弦長公式|AB|=x₁+x₂+p，可求得|AB|=4p=3，從而求得p的值．

解答：解：由直線l過拋物線的焦點F(

p

2

，0)，得直線l的方程為x+y=

p

2

．
由

x+y= p 2 y2=2px

消去，得y²+2py-p²=0．
由題意得△=(2p)2+4p2＞0，y1+y2=-2p，y1y2=-p2．
設直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AB|=x1+x2+p=

p

2

-y1+

p

2

-y2+p=2p-(y1+y2)=4p，
解得p=

3

4

，
故p的值為

3

4

．

點評：本題考查了拋物線的幾何性質以及弦長公式的應用，也考查了一定的計算能力，解題時要靈活運用公式，正確解答．