Question

過點(diǎn)M（-1，0）的直線L₁與拋物線y²=4x交于P₁、P₂兩點(diǎn)記：線段P₁P₂的中點(diǎn)為P；過點(diǎn)P和這個(gè)拋物線的焦點(diǎn)F的直線為L₂；L₁的斜率為k試把直線L₂的斜率與直線L₁的斜率之比表示為k的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時(shí)說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)．

Answer 1

分析：先設(shè)直線L₁的方程是y=k（x+1），然后與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積，將直線L₁與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為△=（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0，進(jìn)而可得到k的范圍，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

.

x

，

.

y

)，可以得到直線L₁、直線L₂的斜率，記f(k)=

k2

k1

，則可以得到f(k)=

. x +1

. x -1

，再由

.

x

=

x1+x2

2

=

2-k2

k2

，可以得到f(k)=

1

1-k2

，再分析單調(diào)性即可．

解答：解：由已知條件可知，直線L₁的方程是y=k（x+1）①
把①代入拋物線方程y²=4x，
整理后得到k²x²+（2k²-4）x+k²=0②
因此，直線L₁與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0③
及k≠0．④
解出③與④得到k∈（-1，0）∪（0，1）
現(xiàn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

.

x

，

.

y

)，
則直線L₁的斜率k=

. y

. x +1

，而直線L₂的斜率k2=

. y

. x -1

，
記f(k)=

k2

k1

，則f(k)=

. x +1

. x -1

今記L₁與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)P₁與P₂的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，
由韋達(dá)定理及②得x1+x2=

4-2k2

k2

，(k∈(-1，0)∪(0，1))
因此

.

x

=

x1+x2

2

=

2-k2

k2

，由此得到f(k)=

1

1-k2

，
定義域是（-1，0）∪（0，1）
顯然，1-k²在（-1，0）內(nèi)遞增，在（0，1）內(nèi)遞減
所以，f(k)=

1

1-k2

在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，在（-1，0）內(nèi)為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，要著重復(fù)習(xí)．