Question

類比平面直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想，并證明．

Answer 1

分析：由勾股定理是平面二維的線與線之間的關系，類比到三維空間可猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD，S_△BCD² =

1

4

CD2•BE²
=

1

4

CD2（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化簡即得結論．

解答：解：線的關系類比到面的關系，猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
如圖作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD．
S_△BCD² =

1

4

CD2•BE² =

1

4

CD2（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²

點評：本題考查類比推理，體現了數形結合的數學思想．其中由二維到三維的類比推理要注意點的性質往往推廣為線的性質，線的性質往往推廣為面的性質．