Question

21.給定拋物線C：y²=4x,F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點.

（Ⅰ）設l的斜率為1，求與夾角的大小；

（Ⅱ）設=λ,若λ∈［4,9］，求l在y軸上截距的變化范圍.

Answer 1

21.本小題主要考查拋物線的性質，直線與拋物線的關系以及解析幾何的基本方法、思想和綜合解題能力.

解：（Ⅰ）C的焦點為F（1,0），直線l的斜率為1，

所以l的方程為y=x－1.

將y=x－1代入方程y²=4x,并整理得x²－6x+1=0.

設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂），則有x₁+x₂=6,x₁x₂=1.

·=（x₁,y₁）·（x₂,y₂）=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂－（x₁+x₂）+1=－3.

||||=·

 ==.

cos〈,〉==－，

所以與夾角的大小為－arccos.

（Ⅱ）由題設=λ,得（x₂－1,y₂）=λ（1－x₁,－y₁）,

即

由②得y₂²=λ²y₁².

∵y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,

∴x₂=λ²x₁.                                                                         　③

聯立①、③解得x₂=λ.依題意有λ>0,

∴B（λ,2）或B（λ,－2）.又F（1,0），

得直線l方程為

（λ－1）y=2（x－1）或（λ－1）y=－2（x－1）.

當λ∈［4,9］時，l在y軸上的截距為或－.

由=,

可知在［4,9］上是遞減的，

∴≤≤,－≤－≤－.

直線l在y軸上截距的變化范圍為［－,－］∪［,］.