【題目】已知橢圓
： 
（
）的兩個焦點為
， 
，離心率為
，點
， 
在橢圓上， 
在線段
上，且
的周長等于
．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）過圓
： 
上任意一點
作橢圓
的兩條切線
和
與圓
交于點
， 
，求
面積的最大值．
【答案】（1）
；（2）
取最大值
.
【解析】試題分析：（1）由
的周長為
可得
，由離心率
得
，進而的橢圓的標準方程；（2）先根據韋達定理證明兩切斜線斜率積為
，進而得兩切線垂直，得線段
為圓
的直徑， 
，然后根據不等式及圓的幾何意義求
的最大值．
試題解析：（1）由
的周長為
，得
， 
，由離心率
，得
， 
．所以橢圓的標準方程為： 
．
（2）設
，則
．
（ⅰ）若兩切線中有一條切線的斜率不存在，則
， 
，另一切線的斜率為0，從而
．此時， 
．
（ⅱ）若切線的斜率均存在，則
，設過點
的橢圓的切線方程為
，
代入橢圓方程，消
并整理得： 
．
依題意
， 
．
設切線
， 
的斜率分別為
， 
，從而
，即
．
線段
為圓
的直徑， 
．
所以
，
當且僅當
時， 
取最大值4．由（ⅰ）（ⅱ）可得： 
最大值是4．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學從高三男生中隨機抽取100名學生，將他們的身高數據進行整理，得到下側的頻率分布表
（Ⅰ）求出頻率分布表中①和②位置上相應的數據；
（Ⅱ）為了能對學生的體能做進一步了解，該校決定在第3，4，5 組中用分層抽樣的方法抽取6 名學生進行體能測試，求第3，4，5 組每組各應抽取多少名學生進行測試；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學校決定在6 名學生中隨機抽取2 名學生進行引體向上測試，求第4 組中至少有一名學生被抽中的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】7人站成一排.（寫出必要的過程，結果用數字作答）
（1）甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？
（2）甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？
（3）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？
（4）甲、乙、丙三人至多兩人不相鄰的排法有多少種？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：
，
，…，
，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間
內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等，試估計總體中男生和女生人數的比例.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】長時間用手機上網嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解
兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中莖葉表示十位數字，葉表示個位數字）．
（1）分別求出圖中所給兩組樣本數據的平均值，并據此估計，哪個班的學生平均上網時間較長；
（2）從
班的樣本數據中隨機抽取一個不超過19的數據記為
，從
班的樣本數據中隨機抽取一個不超過21的數據記為
，求
的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
(1)若
，過點
的直線
交曲線
于
兩點，且
，求直線
的方程；
(2)若曲線
表示圓時，已知圓
與圓
交于
兩點，若弦
所在的直線方程為
， 
為圓
的直徑，且圓
過原點，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）若函數
有且只有一個極值點，求實數
的取值范圍；
（2）對于函數
，
，
，若對于區間
上的任意一個
，都有
，則稱函數
是函數，在區間
上的一個“分界函數”.已知
，
，問是否存在實數
，使得函數
是函數，在區間
上的一個“分界函數”？若存在，求實數
的取值范圍；若不存在，說明理由.
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