Question

若?x＞-1，不等式

x2

x+1

≥a恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：由原不等式得a≤

x2

x+1

，根據題意a小于等于函數

x2

x+1

的最小值即可．所以可設f（x）=

x2

x+1

，用導數的方法求該函數在（-1，+∞）的最小值：取f′（x），令f′（x）=0，便得到x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，從而得到f（x）的最小值f（0）=0，所以a≤0．

解答： 解：設f（x）=

x2

x+1

，f′（x）=

x2+2x

(x+1)2

；
令x²+2x=0，x=-2，或0；
∴x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0；
∴x=0時，f（x）取極小值，也是最小值0；
∴a≤0；
∴a的取值范圍是（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點評：考查用導數的方法求函數最小值的過程，以及極值的概念，要對函數正確求導．