Question

設函數f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c為實常數且a＞0），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，
（Ⅰ）若函數f（x）無極值點且f′（x）存在零點，求a，b，c的值；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點，證明f（x）的極小值小于。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由題得，即，
此時，
；
由f（x）無極值點且f′（x）存在零點，
得，
解得，
于是，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
要使函數f（x）有兩個極值點，
只要方程有兩個不等正根，
那么實數a應滿足 ，解得，
設兩正根為，且，
可知當時有極小值，
其中這里
由于對稱軸為，所以，
且，得，
記，，
有對恒成立，
又，故對恒有，即，
所以有

而對于恒成立，
即在上單調遞增，
故。