Question

如圖，長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AA₁＝a，，M是AD中點，N是B₁C₁中點．

(1)求證：A₁、M、C、N四點共面；

(2)求證：BD₁⊥MCBA₁；

(3)求證：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；

(4)求A₁B與平面A₁MCN所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

(1)取中點E，連結ME、， 　　∴，MCEC． 　　∴MC． 　　∴，M，C，N四點共面． 　　(2)連結BD，則BD是在平面ABCD內的射影． 　　∵， 　　∴RtΔCDM～RtΔBCD，∠DCM＝∠CBD． 　　∴∠CBD＋∠BCM＝90°． 　　∴MC⊥BD．∴． 　　(3)連結，由是正方形，知⊥． 　　∵⊥MC，∴⊥平面． 　　∴平面⊥平面． 　　(4)∠是與平面所成的角且等于45°．