Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

1

n(an+3)

（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，是否存在實數t，使得對任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用首項和公差，表示出等差數列的三項，根據這三項是等比數列的三項，且三項成等比數列，用等比中項的關系寫出算式，解出結果．從而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）將（Ⅰ）的結果代入，再裂項，從而可求S_n；
 （Ⅲ） 假設存在整數t滿足8S_n≤t（a_n+3）總成立．得t≥

2n

(n+1)2

，求出右邊的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．  …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）．   …6 分
（Ⅱ）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．   …10 分
（Ⅲ）假設存在整數t滿足8S_n≤t（a_n+3）總成立．
得t≥

2n

(n+1)2

，而

2n

(n+1)2

=

2

n+ 1 n +2

≤

2

2+2

=

1

2

，即

2n

(n+1)2

的最大值為

1

2

，
∴t≥

1

2

適合條件  …（12分）

點評：本題以數列為載體，考查等差數列與等比數列的綜合，考查裂項求和，考查分離參數法求解恒成立問題．