Question

已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，得到f'（1）=2，然后利用導數確定a，b滿足的關系式．
（2）構造函數g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．利用導數求函數的最值即可．

解答：解：（1）函數的導數為f′(x)=a-

b

x2

，因為f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
所以f'（1）=2，即f'（1）=a-b=2，所以b=a-2．
（2）因為b=a-2，所以f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
若f（x）≥2lnx，則f（x）-2lnx≥0，
設g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）．
則g（1）=0，g′(x)=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，
①當0＜a＜1時，

2-a

a

＞，若1＜x＜

2-a

a

，則g'（x）＜0，此時g（x）在[1，+∞）上單調遞減，所以g（x）＜g（1）=0，
即f（x）≥2lnx在[1，+∞）不恒成立．
②若a≥1，

2-a

a

≤1，當x＞1時，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，又g（1）=0，
所以此時f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的性質，考查學生的運算能力．綜合性較強．