Question

已知f(x)=

x+1

x

ln(x+1)．
（Ⅰ）求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在正實(shí)數(shù)x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f（x）的到函數(shù)，然后求出f'（1）得到切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在正實(shí)數(shù)x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，將m分離出來，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)函數(shù)的最值，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=(

x+1

x

)′•ln(x+1)+

x+1

x

•(ln(x+1))′=

1

x

-

1

x2

ln(x+1)，
∴k=f'（1）=1-ln2，f（1）=2ln2，
∴切線方程為：y=（1-ln2）x+3ln2-1；
（Ⅱ）∵存在正實(shí)數(shù)x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，
∴（x+y）[ln（x+y）-lnx]＜my，
即m＞(1+

x

y

)ln(1+

y

x

)，
設(shè)t=

y

x

＞0，問題等價(jià)于存在t＞0，使m＞

t+1

t

ln(1+t)=f(t)成立，求m的范圍；
只須m＞（f（t））_min，
設(shè)g（t）=（t+1）ln（t+1）-t（t≥0），
由g'（t）=ln（t+1）≥0，知g（t）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故g（t）≥g（0）=0，
即對t≥0，恒有（t+1）ln（t+1）≥t，故對t＞0，有f(t)=

t+1

t

ln(t+1)＞1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞1．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在某點(diǎn)處的切線問題：一般先求斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程求出切線，以及存在問題求參數(shù)：一般利用參變量分離法，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)函數(shù)的最值，從而求出參數(shù)的范圍．屬于中檔題．