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已知橢圓C的中心在原點,焦點在坐標軸上,短軸的一個端點為B(0,4),離心率e=
35

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若O(0,0)、P(2,2),在橢圓上求一點Q使△OPQ的面積最大.
分析:(Ⅰ)由題意可知:橢圓C的焦點在x軸上,b=4,據此可設出橢圓的此方程,再根據參數a、b、c的關系及其離心率即可得出;
(Ⅱ)求出與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程及其切點即可.
解答:解:(Ⅰ)由題意可知:橢圓C的焦點在x軸上,b=4,可設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
42
=1

   又離心率e=
c
a
=
3
5
,及a2=42+c2,解得
a=5
c=3

∴橢圓的方程為
x2
25
+
y2
16
=1

(Ⅱ)∵kOP=
2
2
=1
,∴可設與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程為y=x+t.
聯立
y=x+t
x2
25
+
y2
16
=1
,消去y得到關于x的方程41x2+50tx+25t2-400=0,(*)
∴△=0,即2500t2-4×41×(25t2-400)=0,化為  t2=41,解得t=±
41

∴切線方程為y=x±
41

t=±
41
代入(*)解得x=±
25
41
41
,代入y=x+t求得Q(
25
41
41
,-
16
41
41
)
,或(-
25
41
41
16
41
41
)

上面這兩個點的坐標都滿足是得△OPQ的面積最大.
點評:熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相切問題的解法是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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點,左焦

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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