Question

已知點F（-c，0）（c＞0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點P，且點P在拋物線y²=4cx上，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  3+ 5

  2

• B．

  5

• C．

  5 -1

  2

• D．

  1+ 5

  2

Answer 1

分析：利用拋物線的性質、雙曲線的漸近線、直線平行的性質、圓的性質、相似三角形的性質即可得出．

解答：解：如圖，設拋物線y²=4cx的準線為l，作PQ⊥l于Q，
雙曲線的右焦點為F'，由題意可知FF'為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF'⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF'|=2c，
設|PF'|=x，|PF|=y，則

y x = b a y-x=2a x2+y2=4c2

，解得b=2a，
所以4a²=c²-a²，即c²=5a²，所以c=

5

a，即e=

5

．
故選B．

點評：數列掌握拋物線的性質、雙曲線的漸近線、直線平行的性質、圓的性質是解題的關鍵．