Question

集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}B={x|x²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}．
①若A∩B=[0，3]，求實數m的值；
②若A⊆C_RB，求實數m的取值范圍；
③若m=3，試定義一種新運算A△B，使A△B={x|3＜x≤5}．

Answer 1

解：由已知得：A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2}．
①∵A∩B=[0，3]，∴，∴，
∴m=2
②C_RB={x|x＜m-2，或x＞m+2}，∵A⊆C_RB，
∴m-2＞3，或m+2＜-1，
∴m＞5，或m＜-3．
③若m=3，則A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}．
可得集合{x|x∈B且x∉A}={x|3＜x≤5}；
集合B∩C_UA={x|3＜x≤5}．
故可定義A△B={x|x∈B且x∉A}，或A△B=B∩C_UA
分析：①根據一元二次不等式的解法，對A，B集合中的不等式進行因式分解，從而解出集合A，B，再根據A∩B=[0，3]，求出實數m的值；
②由（1）解出的集合A，B，因為A⊆C_RB，根據子集的定義和補集的定義，列出等式進行求解；
③m=3時，A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}，驗證可得{x|x∈B且x∉A}，B∩C_UA均等于集合{x|3＜x≤5}一，可獲得新運算．
點評：此題主要考查集合的定義及集合的交集及補集運算，一元二次不等式的解法及集合間的交、并、補運算是高考中的�？純热�，屬基礎題．