Question

函數(shù)f（x）=x+，g（x）=x，已知A（x，0），（x＞0），如圖，過A作平行于y軸的直線交y=g（x）的圖象于A₁，交y=f（x）的圖象于P₁，要過P₁作平行于x軸的直線交y=g（x）于A₂，再過A₂作平行于y軸的直線交y=f（x）于P₂，…，這樣一直作下去；設△A₁P₁A₂的面積為S₁，…，△A_kP_kA_k+1的面積為S_k，數(shù)列{S_n}的前n項和為T_n，并設P_n（x_n，y_n）．
（1）求S₁，S₂；
（2）求證：y_n²=2T_n+2n+x²；
（3）若x=5，求證：45＜y₁₀₀₀＜45.1．

Answer 1

【答案】分析：（1）顯然△A₁P₁A₂為等腰直角三角形，從而有，
（2）由圖可知A_n（y_n-1，y_n-1），，進而可得
由得，，從而可證y_n²=2T_n+2n+x²；
（3）由（2）＞45²，
=，故可得證．
解答：（1）解：顯然△A₁P₁A₂為等腰直角三角形

同理
（2）證明：由圖可知A_n（y_n-1，y_n-1），∴

由得，
∴
∴
∴y_n²=2T_n+2n+x²；
（3）證明：由（2）＞45²


∴=
=
∴45＜y₁₀₀₀＜45.1．
點評：本題的考點是數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列{S_n}的前n項和，考查放縮法證明不等式，難度較大．