Question

已知函數

（1）若1是關于x的方程的一個解，求t的值；

（2）當時，解不等式；

（3）若函數在區間上有零點，求t的取值范圍.

Answer 1

解：（1） ∵1是方程f(x)-g(x)=0的解，∴log_a2=log_a(2+t)²,

∴(2+t)²=2    又∵t+2>0   ∴t+2=    ∴t=.

   （2）∵t=-1時，log_a(x+1)≤log_a(2x-1)²    又∵0<a<1 

∴∴∴

   ∴解集為：{x|}

   （3）解法一：∵F(x)=tx²+x-2t+2  

由F(x)=0得：t=且-1<x≤2）  

∴t=

設U=x+2 ( 1<U≤4且U≠2) 

則 t=

令=   ∵ 

∴當時，是減函數，

當時，是增函數，

且 .

   ∴且≠4.

∴4-<0或0<4-≤,   

t的取值范圍為：.

解法二：若t=0,則F(x)=x+2在上沒有零點.

下面就t≠0時分三種情況討論：

①     方程F(x)=0在上有重根x₁=x₂，

②     則Δ=0，解得：t= 

又x₁=x₂=∈，∴t=.

②F(x)在上只有一個零點，且不是方程的重根，則有F(-1)F(2)<0

解得：t<-2或 t>1 

又經檢驗：t=-2或t=1時，F(x)在上都有零點；

∴t≤-2或 t≥1.

③     方程F(x)=0在上有兩個相異實根，則有：

  解得：

   F(-1)>0             F(-1)<0

   F(2)>0              F(2)<0

綜合①②③可知：t的取值范圍為.