Question

【題目】設公差大于0的等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比數列，記數列 的前n項和為Tn．

（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若對于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用等差數列前項和公式、通項公式結合等比數列性質列出方程組，求出首項和公差，再利用裂項求和法進行求和；（Ⅱ）分離未知數，利用基本不等式進行求解.

試題解析：（Ⅰ）設{an}的公差為d（d＞0），

由S3=15有3a1+=15，化簡得a1+d=5，①…

又∵a1，a4，a13成等比數列，

∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化簡得3d=2a1，②…

聯立①②解得a1=3，d=2，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

∴，

∴．

（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即，

∴，…

又≥6，當且僅當n=3時，等號成立，

∴≥162，…

∴t＜162．