Question

設橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點。

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為

直線AB、EF的方程為

如圖，設，其中，且x₁、x₂滿足方程

故           ①

由知，得

由D在AB上知，得

所以

化簡得 

解得      

（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點E、F到AB的距離分別為

  

   

又所以四邊形AEBF的面積為

  

    

   

   

     

當，即時，上式取等號，所以S的最大值為

解法二：由題設，

設，，由①得

故四邊形AEBF的面積為

  

               

    

    

                     

當時，上式取等號，所以S的最大值為。