Question

已知函數 y = f (x) 是定義在R上的增函數，函數 y = f (x－1) 的圖象關于點 (1, 0)對稱. 若對任意的 x, y∈R，不等式 f (x²－6x + 21) + f (y²－8y) < 0 恒成立，則當 x > 3 時，x² + y² 的取值范圍是（　　）

A.(3, 7)       B.(9, 25)        C.(13, 49)      D. (9, 49)

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，

∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，

即函數y=f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x），

又∵f（x）是定義在R上的增函數且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立

∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，

∴x²-6x+21＜8y-y²，

∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，

設M （x，y），則當x＞3時，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內的任意一點，

則d=表示區域內的點和原點的距離．

由下圖可知：d的最小值是OA=

OB=OC+CB，5+2=7，

當x＞3時，x²+y²的范圍為（13，49）

故答案為：（13，49）