Question

已知f（x+1）=x²+2x+3
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）設g（x）=f（x）-kx，若g（x）在（-∞，3]上單調遞減，求k的取值范圍．．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1），可設x+1=t，換元得f（t），即得f（x）的解析式；
（2）因g（x）是二次函數，圖象是拋物線；由圖象知，區間（-∞，

k

2

]在對稱軸左側時g（x）單調遞減，從而得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x+1）=x²+2x+3，∴令x+1=t，則x=t-1，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）+3=t²+2，
∴f（x）=x²+2（其中x∈R）；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²-kx+2，圖象是拋物線，且開口向上，對稱軸為x=

k

2

，
∴g（x）在區間（-∞，

k

2

]上單調遞減，令

k

2

≥3，
∴k≥6；
∴k的取值范圍是[6，+∞）．

點評：本題考查了用換元法求函數解析式和二次函數的圖象與性質的應用，是基礎題．