Question

如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，，M是線段B₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求證：D₁O⊥平面AB₁C．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證BM∥平面D₁AC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證BM與平面D₁AC內一直線平行，連接D₁O，易證四邊形D₁OBM是平行四邊形，則D₁O∥BM，D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證D₁O⊥平面AB₁C，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證D₁O與平面AB₁C內兩相交直線垂直，連接OB₁，根據勾股定理可知OB₁⊥D₁O，AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，滿足定理所需條件．
解答：解：（Ⅰ）連接D₁O，如圖，
∵O、M分別是BD、B₁D₁的中點，BDD₁B₁是矩形，
∴四邊形D₁OBM是平行四邊形，∴D₁O∥BM．（3分）
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC．（7分）
（Ⅱ）連接OB₁，∵正方形ABCD的邊長為2，，
∴，OB₁=2，D₁O=2，
則OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（10分）
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．（14分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．