Question

過點（0，4）、斜率為-1的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A，B，如果OA⊥OB（O為原點）求P的值及拋物線的焦點坐標．

Answer 1

分析：聯立方程

y=-x+4 y=2px

，利用根與系數的關系求得y₁y₂的值，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，解出p值，即得
拋物線方程和焦點坐標．

解答：解：直線方程為y=-x+4，聯立方程

y=-x+4 y=2px

，消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以：y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p，p＞0．
由已知OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而16-8p=0，得p=2．
所以拋物線方程為y²=4x，焦點坐標為F（1，0）．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質，兩直線垂直的性質，求出p=2是解題的關鍵．