Question

已知冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上遞增．
（1）求實數k的值，并寫出相應的函數f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的函數f（x），試判斷是否存在正數m，使函數g（x）=1-mf（x）+（4m-1）x，在區間[0，1]上的最大值為5．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用冪函數的定義和單調性即可得出；
（2）利用二次函數的對稱軸與0，1的大小關系和其單調性即可解出．

解答：解：（1）∵冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈z）在（0，+∞）上遞增，
∴（2-k）（1+k）＞0，解得-1＜k＜2，
又∵k∈Z，∴k=0或1．
當k=0或1時，（2-k）（1+k）=2，
∴冪函數f（x）=x²；
（2）由（1）可知：g（x）=-mx²+（4m-1）x+1，
∵m＞0，∴-m＜0，g（x）=-m(x-

4m-1

2m

)2+

16m2-4m+1

4m

．
①當

4m-1

2m

≤0，m＞0時，解得0＜m≤

1

4

，則g（x）在[0，1]上單調遞減，因此在x=0處取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，應舍去；
②當

4m-1

2m

≥1，m＞0時，解得m≥

1

2

，則g（x）在[0，1]上單調遞增，因此在x=1處取得最大值，∴g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，滿足條件；
③當0＜

4m-1

2m

＜1，m＞0時，解得

1

4

＜m＜

1

2

，則g（x）在x=

4m-1

2m

處取得最小值，最大值在x=0或1處取得，而g（0）=1不符合要求；
由g（1）=5，即3m=5，解得m=

5

3

，不滿足m的范圍．
綜上可知：滿足條件的m存在且m=

5

3

．

點評：熟練掌握冪函數和二次函數的單調性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．