Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2

π

6

x+sin(

π

3

x+

π

6

)-1．
（I）求f（x）的值域；
（II）試畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]上的圖象．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)解析式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可得出函數(shù)的值域；
（II）由第一問確定的函數(shù)解析式，列表、描點、連線，如圖所示，即可得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]上的圖象．

解答：解：（I）f（x）=1-cos（

π

3

x）+

3

2

sin（

π

3

x）+

1

2

cos（

π

3

x）-1
=

3

2

sin（

π

3

x）-

1

2

cos（

π

3

x）=sin（

π

3

x-

π

6

），
∵-1≤sin（

π

3

x-

π

6

）≤1，∴-1≤f（x）≤1，
則f（x）的值域為[-1，1]；
（II）f（x）=sin（

π

3

x-

π

6

），
列表并畫出f（x）在[-1，5]的圖象如下：

π 3 x- π 6	- π 2	0	π 2	π	3 2 π
x	-1	1 2	2	7 2	5
f（x）	-1	0	1	0	-1

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及函數(shù)圖象的畫法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．