Question

向量

a

， 

b

， 

c

滿足：|

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3，

a

與

b

夾角為60°．則|

a

+

b

+

c

|的最小值為（　　）

• A、3-

  7

• B、3-

  3

• C、3+

  7

• D、3+

  3

Answer 1

分析：先利用條件設(shè)出各個點的坐標，把所求向量的長度轉(zhuǎn)化為用點的坐標表示，再借助于三角函數(shù)的值域即可求出結(jié)論．

解答：解：由題得可設(shè)

b

=（2，0），

a

=（

1

2

，

3

2

），

c

=（3cosθ，3sinθ）
∴

a

+

b

+

c

=（

5

2

+3cosθ，

3

2

+sinθ）．
∴|

a

+

b

+

c

|=

( 5 2 +3cosθ)2+( 3 2 +3sinθ)2

=

16+15cosθ+3 3 sinθ

=

16+6 7 sin(θ+α)

，
當sin（θ+α）=-1時，|

a

+

b

+

c

|取最小值，此時|

a

+

b

+

c

|=

16-6 7

=

(3- 7 )2

=3-

7

．
故選A．

點評：本題主要是借助于三角函數(shù)的值域來求向量的長度的最小值．求最小值的辦法有多種：①構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)求函數(shù)值域（最值）的辦法解答；②利用基本不等式；③利用線性規(guī)劃．等等，解題時我們要根據(jù)題目中已知的條件，選擇轉(zhuǎn)化的方向．